Page 269 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

6.4 速度和加速度

求导的另一个应用是计算运动物体的速度和加速度. 在 5.2.2 节中, 我

们想象了一个物体沿着实轴运动. 我们发现, 如果在时刻 t 它的位置是

1
x, 那么它在时刻 t 的速度 就是

1
从现在开始, 我们不再加 “瞬时” 两字, “速度” 将总是指瞬时速度, 除非明确说是 “平均速
度”.

现在, 正如速度是位置的瞬时变化比率, 物体的加速度是速度的瞬时变

化比率. 也就是说, 加速度是速度关于时间 t 的导数. 由于速度是位置

的导数, 我们发现, 加速度实际上是位置的二阶导. 因此, 有

2
3
例如, 假设一个物体在时刻 t 的位置由 x = 3t - 6t + 4t - 2 给
出, 其中 x 的单位是英尺, t 的单位是秒. 在时刻 t = 3 时该物体的速

度和加速度分别是什么呢？ 通过对位置关于时间求导得到速度：v =

2
dx/dt = 9t - 12t + 4. 现在再对这个新的表达式关于时间求导得到