Page 281 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

因此, 左极限等于右极限, 这意味着双侧极限存在并且等于 1. 这和 f

(0) 相等, 因此证明了 f 在 x = 0 上连续. (注意到, 对于左极限和右极

限, 实际上只需将 x = 0 代入到适当的 f 的段中来求极限.)

我们仍然需要证明 f 在 x = 0 上可导. 为了求证, 必须证明在 x = 0

上的左导数和右导数相等 (回顾 5.2.10 节来回忆一下左导数和右导数

的概念). 在 0 的左侧, 有 f (x) = 1, 因此这时 f'(x) = 0. 事实表明, 可

以往右至 x = 0, 得出

这表明 f 在 x = 0 上的左导数是 0. (更多详情参见附录 A 中的

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A.6.10 节.) 在 0 的右侧, 有 f (x) = x + 1, 因此 f' (x) = 2x. 再一

次地, 可以往左至 x = 0：

因此, f 在 x = 0 上的右导数是 2 × 0 = 0. 由于在 x = 0 上的左导数

和右导数相等, 函数在 x = 0 上可导.

因此, 检验一个分段函数在分段连接点上是否可导, 需要检验分段

在连接点上相等 (以证明连续性) 以及分段的导数在连接点上相等. 否

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则, 在连接点上不可导. 如果有两个以上的分段, 就必须在所有的连接

点上检验连续性和可导性.