Page 294 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

7.1 三角函数的极限

考虑两个极限

和 .

它们看上去几乎是一样的. 唯一的区别是, 第一个极限是在 x → 0 时取

的, 而第二个则是在 x → ∞ 时取的. 但正是这点区别, 造就了大不同!

正如我们即将看到的, 这两个极限的答案和求解技巧几乎没有共同点.

因此, 需要切实留意你是在非常小的数 (如上述第一个极限) 上还是在

非常大的数 (如上述第二个极限) 上取正弦或余弦或正切的极限. 我们

将分别考察这两种情况, 然后再看看当这两种情况都不适用时会发生什

么.

在开始之前, 需要提醒的是, 你无法只通过看 x → 0 或 x → ∞ 来了解

自己处理的是哪种情况. 你需要知道自己是在哪里计算三角函数的值.

例如, 考虑两个极限

和 .

在第一个极限中, 你要取的是 5/x 的正弦, 当 x 接近于 0 时, 它实际上

是一个巨大的数 (正的或负的, 取决于 x 的符号). 因此, 第一个极限根