Page 297 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

成立. 事实上, 上述等式永远都不会成立, 不过在 x → 0 时的极限中确

实有：

这个公式非常重要. 基本上, 这是解决涉及三角函数的微积分问题的关

键所在. 我们将在 7.2 节使用它来求三角函数的导数, 并会在 7.1.5 节

对它进行证明.

cos (x) 又怎样呢？好吧, cos (0) = 1, 因此情况大为不同. 暂且说一

个小数的余弦非常接近于 1. 我们写作

特别要注意的是, 不像之前那个涉及 sin (x) 的公式, 这里的分母中没

有 x 的因子. 要将 x 的因子放在分母中会怎样呢？我们很快就会看到,

不过我想先看看 tan (x).

这里的关键是, 将 tan (x) 写成 sin (x) / cos (x). 分子是 sin (x), 当

x 非常小时, 它非常接近于 x. 另一方面, 这时分母接近于 1. 显而易见,

它们的比应该就好像 x/1, 即 x. 事实上也确实如此. 将 cos (x) 从分母

中分离出来, 得到