Page 418 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

现在我们终于可以来证明之前一直不作证明就接受的一件事情了：对

于任意的数 a (而不只是我们之前见到整数), 有

a
不妨假设 x > 0. 现在使用取对数求导法：设 y = x , 这样 ln (y) =
a ln (x). 如果你对两边作隐函数求导, 会得到

a
现在用 y 与两边相乘并用 x 替换 y ：

这就是我们想要的, 至少当 x > 0 时. 当 x ≤ 0 时, 我们有一点小问

题. 例如, 你不能取 (-1) 1/2 , 因为这是一个负数的平方根. 究竟

又会是什么呢？事实上, 如果不使用复数 (毕竟, 直到第 28 章我们才

会学到), 只有当 a 是一个带有一个奇分母 (在消去公因子之后) 的有

a
理数时, 对于 x < 0, x 才说得能. 例如, 对于 x < 0, x 5/3 说得通, 因

为你总是可以求一个立方根 —— 由于 3 是奇数, 所以这没有问题. 在

a
x < 0 而 x 说得通的情况下, 结果表明, 它或者是 x 的偶函数或者是

x 的奇函数, 而你可以使用这个事实证明其导数仍是 ax a-1 .