Page 421 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

我们将在 30.2 节说明为什么会这样. 同时, 让我们再来更深入地看看

微分方程 dy/dx = ky. 首先要做的是将变量 x 变为 t, 这样可以看到

这意味着, y 的变化率等于 ky. 这太有趣了! 一个量变化的速率取决于

这个量的大小. 如果这个量越大, 那么它就会增长得越快 (假设 k > 0).

在动物种群总数增长的情况中, 这是说得通的：兔子越多, 它们就可以

繁殖得越多. 如果你有两倍的兔子, 那么在任意给定的时间周期中, 它

们也会繁殖出两倍的兔子. 数 k 被称为增长常数, 它控制着兔子繁殖得

多快. 它们性致越高, k 越大!

9.6.1 指数增长

假设有一个种群以指数增长. 用符号表示, 设 P (或 P (t), 如果你喜欢)

是在时刻 t 时的总数, 并设 k 是增长常数. P 的微分方程为

这和前面方框中的微分方程是一样的, 除了一些符号有所不同. 这里我

们有 P 而不是 y; 有 t 而不是 x. 不过不要紧, 我们向来善于随机应变;

kx
我们只需在解 y = A e 中做同样的替换即可. 这样对于某个常数 A,