Page 422 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

kt
0
P = A e . 现在, 当 t = 0 时, 我们有 P = A e k(0) = A e = A, 因为
0
e = 1. 这意味着, A 是初始的总数, 即在时刻 0 时的总数. 习惯上, 我

们会用新的符号表示这个变量, 用 P 来代替 A, 以表明它代表的是在
0

时刻 0 时的总数. 综合在一起, 我们有

其中 P 是初始的总数, k 是增长常数.
0

此公式很容易应用到实际中, 只要你知道指数法则和对数法则 (参

见 9.1.1 节 和 9.1.4 节). 例如, 如果你知道三年前兔子的总数是

1000 只, 而现在增长至 64 000 只, 那么从现在算起, 一年之后兔子

总数会是多少呢？此外, 总数从 1000 增长至 400 000 需要多长时间

呢？

好吧, 我们有 P = 1000, 因为这是初始的总数. 故上述方框中的方程
0

kt
变为 P (t) = 1000e . 但问题是, 我们不知道 k 是什么. 我们知道的

是, 当 t = 3 时, P = 64 000, 因此将其代入：

3k
这意味着, e = 64. 对两边取对数可得 3k = ln (64), 故 .

6
事实上, 如果你写出 ln (64) = ln(2 ) = 6 ln (2), 那么就可以将其化

简为 k = 2 ln (2). 这意味着, 对于任意的时刻 t,