Page 420 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

9.6 指数增长和指数衰变

我们已经看到, 连续计复利的银行账户的增长是指数式的. 不过, 指数

增长不只限于人类社会, 它也见于自然界. 例如, 在一定条件下, 动物种

群总数, 如兔子 (和人类) 会呈指数增长. 此外, 还有指数衰变, 其中一

个量以指数方式变得越来越小 (我们很快就能看到这是什么意思). 放射

性衰变就是如此, 这使得科学家能够确定古代器物、化石或岩石的年

龄.

kx
以下是基本思想. 假设 y = e . 那么, 正如我们在 9.3.1 节的开头部

kx
分看到的, dy/dx = k e . 我们可以将等式右边写作 ky, 因为 y =

kx
e . 也就是说,

这是微分方程的一个例子. 也就是说, 它是一个涉及导数的方程. 我们

将在第 30 章看到更多的微分方程, 但现在, 暂且让我们把精力集中在

这一个上面. 还有其他什么函数也满足上述方程呢？我们知道 y = e kx

kx
满足, 但一定还有其他函数也满足. 例如, 如果 y = 2e , 那么 dy/dx
kx
kx
= 2k e , 其结果再次为 ky. 更一般地来说, 如果 y = A e , 那么
kx
dy/dx = Ak e , 也就是 ky. 事实表明, 这是可以得到 dy/dx = ky 的

唯一途径：