Page 425 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这仍然只是微乎其微的一小点原料). 你将它们放入盒子, 七年后回来.

你期待发现什么？好吧, 大概有一半的原子应该已经衰变了, 而另一半

仍是完好的. 因此, 你应该有大概一万亿的一半的原始原子. 再过七年,

你再来看时又会怎样呢？剩余的一半原子会仍然完好, 即留给你的是一

万亿的四分之一的原始原子. 每隔七年, 你失去所剩样本的一半的原子.

因此, 让我们试着写出一个方程来对该问题建模. 如果 P (t) 是原子在

时刻 t 时的数量 (总数？), 那么我可以断言,

其中 k 是某个常数. 这说的是, P 的变化率是 P 的负倍数. 也就是说, P

是以一个和 P 成比例的速率衰变的. 你拥有的原子数量越多, 它们衰变

得就越快. 这和上述例子是一致的：在第一个七年中, 我们失去了一万

亿原子中的一半, 而在下一个七年中, 我们只失去了一万亿的四分之一

的原子, 再过七年, 我们只会失去一万亿的八分之一的原子. 我们拥有

的越多, 失去的也就越多. 不管怎样, 上述微分问题的解是

其中 P 是原子的原始数量 (在 t = 0 时). 这和上一节中指数增长的方
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程是一样的, 除了我们将增长常数 k 代之以一个负的常数 -k, 称为衰变

常数.