Page 446 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

当 x > 2 时 (回想一下, f 的定义域是 [2, ∞)), 所有这三个因子 5x、

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(x - 5) 及 (x - 2) 都是非负的, 因此它们的乘积也是非负的. 这样我

们证明了在 (2, ∞) 上 f' (x) ≥ 0. 此外, 在此定义域内, 唯一一处使得

f' (x) = 0 的点是 x = 5. 由于 f 在 [2, ∞) 上连续, 10.1.1 节中的方

法便证明了 f 有反函数.

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让我们接着来看问 (2). 反函数 f 的值域就是 f 的定义域, 它当然就

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是 [2, ∞). f 的定义域则更难求一些. 确实, f 的定义域就是 f 的
值域, 因此我们需要做些工作求出这个值域. 但这不是什么大不了的.

我们知道 f 总是递增的, 这意味着 f (2) 是最低点. 也就是说, 该函数

3
2
始于高度 f (2), 也就是 2 × (-3) = -108, 且递增向上. 那它能上升
到多高呢？当 x 变得越来越大, f 也变得越来越大 —— 它的上升是没

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有极限的. 这意味着, f 取到自 -108 以上的所有数, 故 f 的定义域

和 f 的值域相同, 也就是 [-108, ∞).

我们还需要求解问题的后两部分. 对于问 (3), 很容易计算得出 f (4)

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= -16, 这意味着 f (-16) = 4. 再来看问 (4), 如果 y = f (x), 那
么我们知道

当 x = -16 时, 从问 (3) 可知 y = 4. 将它代入, 得到