Page 441 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这里还有另一个潜在的问题. 10.1.1 节中的那四个条件都要求定义域

是一个形如 (a, b) 的区间. 如果定义域不在一起会怎样呢？不幸的是,

要是那样的话, 结论就全都不成立了. 例如, 如果 f (x) = tan (x), 那

2
么 f' (x) = sec (x), 这不可能是负的; 然而, 从图像中可以看到 y =

tan (x) 不满足水平线检验. (y = tan (x) 的图像参见 10.2.3 节.) 因

此一般来说, 当函数有不连续点或垂直渐近线时, 上节所述方法就不适

用了.

10.1.3 求反函数的导数

-1
如果知道函数 f 有反函数, 我们通常称之为 f , 那么该反函数的导数

-1
是什么呢？下面就介绍如何求解. 从方程 y = f (x) 开始. 你可以将

它重新写作 f (y) = x. 现在对方程两边关于 x 作隐函数求导得到

等号右边很容易求解, 它就是 1. 为了求解左边, 我们使用隐函数求导

(参见第 8 章). 如果设 u = f (y), 那么根据链式求导法则 (注意到

du/dy = f' (y)), 我们有

现在, 等式两边同除以 f' (y), 得到以下定理：