Page 450 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

图 10-5

该曲线的实线部分就是限制定义域后所剩下的. 很明显, 我们不能往右

超出 π/2, 否则随着曲线掉头往下我们又会开始重复曲线上 π/2 左侧的

值. 在 -π/2 处也有类似的情况. 因此, 我们被困在了这个区间里.

这样如果 f (x) = sin (x), 并且其定义域为 [-π/2, π/2], 则它满足水平

-1
-1
-1
线检验, 故它有反函数 f . 我们将 f (x) 写成 sin (x) 或 arcsin
-1
(x). (注意：第一个记号初看上去会有点让人困惑, 但 sin (x) 和 (sin
-1
2
2
3
(x)) 不是一回事, 尽管我们有 sin (x) = (sin (x)) 及 sin (x) =
3
(sin (x)) .)

那么反正弦函数的定义域是什么呢？由于 f (x) = sin (x) 的值域是

[-1, 1], 其反函数的定义域就是 [-1, 1]. 又由于函数 f 的定义域是 [-

π/2, π/2] (因为我们把定义域限制成了这样), 其反函数的值域就是 [-

π/2, π/2].

-1
y = sin (x) 的图像又如何呢？我们只需要取受限的 y = sin (x) 的

图像并将它关于镜子 y = x 作反射, 如图 10-6 所示. 这里有一个简洁

的方法来记住该如何画这个图像. 首先, 将 y = sin (x) 的全部图像关