Page 482 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

显然该函数达到的最高点为 3, 出现在 x = 0 处, 因此你可以说该函数

在 x = 0 处有最大值. 另一方面, 想象这个图像为一座山的截面, 而你

正在攀登它. 假设你从点 (2, -1) 开始, 往右向上攀登. 最终你到达了山

峰 (5, 2), 然后你开始往下走. 这个山峰无疑会让人感觉, 它是某种最

大值 —— 它是山的顶部, 高度为 2, 尽管在它左侧还有一个山峰比它更

高. 如果在 x = 0 处的山峰被云雾笼罩, 你在点 (5, 2) 时看不到它, 这

样你会确实感觉自己是在最高点了. 事实上, 如果我们限制定义域为

[2, 7], 这时 x = 5 处确实有最大值.

我们需要一种方法来区分这种情况. 如果当 x = a 时, f (a) 是函数 f

整个定义域内的最大值, 我们就说它是全局最大值 (或绝对最大值). 用

记号表示, 我们说对于在该函数定义域中的任何数值 x 都有 f (a) ≥ f

(x). 这是我们之前使用过的定义, 但这次我们定义得更准确, 特称它为

“全局最大值”, 而不是泛泛称 “最大值”.

正如之前注意到的, 一个函数可能有多个全局最大值. 例如 cos(x) 的

最大值为 1, 但有无数个 x 的值与之对应. (从 y = cos(x) 的图像中可

以看到, 这些值都是 2π 的整数倍.)

那么另一类最大值又是什么情况呢？在包含 a 的某一小段区间内, 如果

在 x = a 处, f (a) 有最大值, 我们就称这点为局部最大值, 或相对最大

值. 你可以把这想象成, 舍弃定义域的大部分, 而只关注靠近 a 的 x 的

值, 然后称函数在这些 x 值中达到最大值.