Page 485 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

图 11-2

从图像中可以看出, 局部最大值出现在 x = 0 和 x = 5 处, 局部最小

值出现在 x = 2 和 x = 7 处. 在 x = 2 和 x = 5 处的斜率为零, 所以

这两点为临界点; 而 x = 0 和 x = 7 这两点为端点.

你可能会想为什么极值定理说得通. 假设在 x = a 处有局部最小值, 当

你从左边接近 x = a 时, 你必定是在下坡, 所以斜率 (如果存在的话)

是负的. 当你从右边离开 x = a 时, 你是在上坡, 所以斜率是正的. 斜率

从负到正, 你自然会想到之间有斜率为零的一点. 另一方面, 如果 f (x)

= |x|, 它的斜率从 -1 直接跳到 1, 而没有经过斜率为零的阶段. 这是

因为 f' (0) 不存在 (参见 5.2.10 节). 不过, 这没有关系 —— x = 0 仍

是临界点, 因为在那里导数不存在. 它也是局部最小值. (你知道原因