Page 483 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

让我们看看在上面的例子中这是如何运作的. 我们发现在 x = 5 处有

局部最大值, 因为如果只关注 x = 5 临近部分的函数, 点 (5, 2) 就是

最高点. 例如, 如果我们把图像向左延伸到 x = 3, 点 (5, 2) 依然是最

高点. 但 x = 5 不是全局最大值, 因为点 (0, 3) 更高. 这意味着 x = 0

是全局最大值. 当然, 它也是局部最大值, 事实上很明显, 每一个全局最

大值都是局部最大值.

用同样的方式, 我们也可以定义全局和局部最小值. 在上图中, 我们可

以看出 x = 2 是全局最小值 (值为 -1), 因为它的高度最低. 另一方面,

x = 7 是局部最小值 (值为 0). 的确, 如果你看图像右侧从 x = 5 到 x

= 7 这一段, 会发现右端点 x = 7 就是该段的最低点.

11.1.2 极值定理

在第 5 章中, 我们看到过最大值与最小值定理. 它说的是, 连续函数在

一个闭区间 [a, b] 内一定有一个全局最大值和一个全局最小值. 如果

函数不是连续的, 或者尽管连续但其定义域不是一个闭区间, 这时该函

数可能没有全局最大值或最小值. 例如, 定义在闭区间 [-1, 1] 上、但 x

不能为 0 的函数 f (x) = 1/x, 其定义域内就没有全局最大值和最小值.

(画出图像找原因!)

最大值与最小值定理的问题在于, 它没有告诉我们全局最大值和最小值

出现的位置. 这时导数就有了用武之地. 如果函数在 x = c 处的导数为