Page 487 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

域为 [-1, 2], 在此定义域内的全局最大值和最小值是什么？

让我们执行上述程序. 第一步, 需要找出 f' (x). 这不成问题：你可以检

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验一下 f' (x) = 60x + 60x - 120x . 很明显, 在开区间 (-1, 2) 内
该函数的导数都存在, 所以我们仅仅需要去找满足导数为零的所有 x 的

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值. 如果对导函数进行因式分解, 得到 f' (x) = 60x (x - 1)(x + 2), 我

们就可以很容易找到使导函数为零的所有 x 的值： 要使 f' (x) = 0,

必须有 x = 0、x = 1 或 x = -2. 由于 -2 不在定义域内, 所以我们只

保留 x = 0 和 x = 1 两点. 第二步告诉我们应该把 x = -1 和 x = 2

两点也加入列表.

有了一份全局最大值和最小值的可能候选者列表, 我们现在来到了第三

步： 求出它们所对应的函数值. 这很简单, 只需将它们逐一代入就可以

了, 我们得到 f (-1) = 44, f(0) = 1, f(1) = -12 及 f (2) = 305. 至

于最后两步, 我们需要做的仅仅是从上述数值中选出最大的和最小的.

最大的是 305, 出现在 x = 2 处, 所以 x = 2 是该函数的全局最大值;

最小的是 -12, 出现在 x =1 处, 所以 x = 1 是该函数的全局最小值.

这样, 我们就找到了全局最大值和最小值.

在开始松懈之前, 让我们再更仔细地看一下刚才的函数 f . 首先, 注意

到如果扩大它的定义域, 情况可能会由于两个原因而发生改变：一来端

点会改变, 二来 x = -2 处的临界点可能会进来搅局. 其次, 我们应该更

仔细地看一下 x = 0 处的临界点那里发生了什么. 它是局部最大值, 还