Page 505 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

它们看上去都像碗的一部分. 注意到仅仅通过 f'' (x) > 0 我们无法判断

一阶导数 f' (x) 的正负. 确实, 上述图像的中间两个的一阶导数为负, 最

右边的一阶导数为正, 最左边的一阶导数由负到正.

如果二阶导数 f'' (x) 为负, 那么情况就反了过来. 它们看上去就像倒扣

的碗. 如果在某段区间内函数 f 的二阶导数始终为负, 那么就称 f 在该区

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间是凹向下的. 图 11-11 是一些凹向下函数的图像.

5 如果你记不清哪一个是凹向上, 哪一个是凹向下, 那么下面这两个尾韵也许能帮助你：“Like

a cup, con cave up; Like a frown, concave down.” (茶杯样, 凹向上; 皱眉相, 凹向下.)

图 11-11

在这些图像中, 函数的导函数都为减函数. 这意味着你会发现在这座山上

行进越来越容易：如果你是在上山, 山势会越来越平坦; 而如果你是在下

山, 山势则会越来越陡峭 (你都是从左往右).

当然, 凹性并不需要每一个地方都一样：它可以改变. 如图 11-12 所示,

在 x = c 点的左边, 图像是凹向下的; 而在 x = c 点的右边, 图像是凹

向上的. 这时, 我们称 c 点为函数的拐点, 因为函数在 c 点改变了它的凹

性.