Page 524 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

12.1.2 建立二阶导数的符号表格

我们也已经看到二阶导数的重要性 (回顾一下 11.4 节). 当二阶导数为

正时, 函数图像是凹向上的; 为负时, 图像是凹向下的; 为 0 时, 你可能

得到也可能得不到一个拐点. 一张二阶导数的符号表格会告诉我们这些

信息.

方法同函数值或一阶导数的符号表格所用方法是一样的, 只是现在第三

行要用来表示函数图像是凹向上还是凹向下. 当 f'' (x) 为正时, 画一个

开口向上的小抛物线; 为负时, 画一个开口向下的; 为 0 时, 画一个点.

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回到刚才的例子 f (x) = x (x - 5) , 我们已经知道 f' (x) = 5x(x
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- 5) (x - 2). 为了对这再求导, 需将 x 和 (x - 2) 合并在一起, 得到 f'

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(x) = 5(x - 5) (x - 2x). 接下来, 可以应用乘积法则, 得到

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提出公因式 (x - 5) 并重新整理, 得到 f'' (x) = 10(x - 5)(2x - 8x +

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5). 实际上, 可以使用二次方程求根公式去求 2x - 8x + 5 = 0 的解,

求得解为 所以可以把 f'' (x) 彻底地因式分解为

这意味着当 和 x = 5 时, f'' (x) 的值为 0. 这

样我们初步得到 f'' (x) 的表格如图 12-8.