Page 575 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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这意味这 r = 1 或 r + 8r + 8 = 0. 后者的解为 , 又由于

的值约为 6, 这两个解都为负. 所以唯一 r 为正的临界点是 r =1.

再一次地, 由于端点处的成本为无穷大 (原因同前, 而算上焊接显然不

会使其更便宜), 所以这个点为最小值. 作为检验, 我们有

它与之前的实际上是一样的. 所以它为正, 原始函数图像凹向上, 而在 r

=1 确实有最小值.

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现在我们只需做代入. 可以看到 h = 16/r = 16, 以及 C = 4π(16/1

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+ 1 + 14 × 1) = 124π 美分, 也就是大约 4 美元. 看来需要想办法
降低成本了! 不管怎样, 现在理想的罐子形状是半径为 1 英寸、高度为

16 英寸的圆柱体, 此时每个罐子的成本为 124π 美分. 注意到现在的

最优半径比我们在问题第一部分计算出来的要小, 这是说得通的, 毕竟

更小的半径降低了昂贵的焊接成本.

13.1.5 在最优化问题中使用隐函数求导

在我们转入最后一个例子之前, 先重新看一下上节问题的第一部

分. 当时我们知道

和 ,