Page 576 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

并通过消去 h 而最小化 C. 但还有一种最小化 C 的方法, 那就是在两

边同时关于 r 作隐函数求导, 毕竟 r 是我们想保留的变量. (关于隐函数

求导, 可回顾一下 8.1 节.) 这样得到

和 .

检验一下以确信计算是正确的. 不管怎样, 如果从第二个方程求解

dh/dr, 由于 r ≠ 0, 就有

把它代入第一个方程, 得到

所以当 2r = h 时, dC/dr = 0, 而这正是我们之前得到的结果! 为了证

明这个临界点是最小值, 对上式关于 r 再次求导, 得到

(这里用到了刚才得到的 dh/dr = -2h/r.) 注意到上式的右边始终

为正, 所以 C 关于 r 的图像是凹向上的, 而确实是有一个最小值. 当然,

知道当 2r = h 时有最小值, 这并不没有告诉我们各个变量实际上是多