Page 573 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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该极限为无穷大, 因为当 r → 0 时, 趋于无穷大. 这意味着当半径

趋于 0 时, 成本将越来越高. 这可不是我们想要的! 所以要离这个端点

远远的. 那么区间 (0, ∞) 的另一个端点呢？再一次地, 我们无法令 r =

∞, 所以也要求极限：

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这次是 r 项趋于无穷大. 没关系, 我们也将对这个端点敬而远之. 所以

结论是, 在 r =2 点有局部最小值和全局最小值. 可以通过一阶或二阶

导数的符号表格来检验一下. 让我们采用二阶导数的方法：

当 r 在区间 (0, ∞) 上时, 二阶导数始终为正; 具体说, 当 r =2 时, 它

为正, 所以在这里必有局部最小值.

剩下需要做的, 只是找出当 r = 2 时其他变量的值并写出结论. 确实,

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当 r =2 时, 可以看到 h = 16/r = 4 和 C = 4πrh + 4πr = 48π.
这意味着成本最低的形状是半径为 2 英寸、高度为 4 英寸的圆柱体,

这时每个罐子的成本为 48π 美分, 也就是大约 1.50 美元. (这对一个

普通罐子来说是相当昂贵了!) 注意到在这种情况下, 罐子的直径和高度

相同.