Page 599 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

因此, 以前我们说 , 现在则可以信心十足地说, 近似相当接近.

事实上, 在实际值的 ±1/54 之内. 更准确地说, 有

事实上, 由于我们已经知道 比 的实际值略大, 所以可以进一步

说：

现在, 再试下 13.2.3 节所见的估算 ln(0.99) 的例子. 在那里, 得

到 ln(0.99) ≈ -0.01. 那么这个近似到底有好呢？设 f (x) = ln(x), 有

2
f' (x) = 1/x, f'' (x) = -1/x . 由于二阶导数为负, 再一次地, 我们的估

算偏大. 现在, 当 t 在 a =1 和 x =0.99 之间变化时, |f'' (t)| = 1/t 2

的值最大会是多少？再一次地, 等式右边为 t 的减函数, 所以最大值当

2
t =0.99 时取到. 于是有 M = 1/(0.99) , 并且估算误差为

|误差| .

这化简后约为 0.000 051, 非常非常小地的. 这意味着 -0.01 是对

ln(0.99) 一个非常好的近似. 更准确地说, 我们证明了不等式