Page 611 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

14.1 洛必达法则

我们学过的大部分极限都是以下情况之一：

和 .

有时你可以利用函数的连续性直接用 a 来替代 x 进行计算, 但这种方

法可能解决不了问题. 例如, 考虑下列极限：

和 .

在第一种情况中, 用 3 来替代 x 得到 0/0 型的不定式. 第二种极限是

+
当 x → 0 时的两个无穷大的差. 实际上, 当 x → 0 时, 两个算式都趋
-
于正无穷; 当 x → 0 时, 两个算式都趋于负无穷. 所以我们可以把这种

形式总结为 ±(∞ - ∞). 第三种极限 (关于 x ln(x)) 是 0 × (-∞) 类型,

+
∞
请记住当 x → 0 时, ln(x) → -∞. 最后, 第四种极限是 1 , 看起来也
很难求. 但幸运的是, 我们可以使用洛必达法则求解这四种极限.

第一种类型是两个函数的比 f (x)/g (x), 最适合用这一法则, 我们称它

为 “类型 A”. 接下来的两种类型为 f (x) - g (x) 和 f (x)g(x), 都可以

直接化归为类型 A, 所以我们分别叫它们为类型 B1 和 B2. 最后, 我

们把关于指数型函数 f (x) g(x) 的类型叫作类型 C, 该类型可以化归为