Page 65 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

1.3 函数的复合

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假设有一个表达式为 g(x) = x 的函数 g. 你可以将 x 替换成任何使

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函数有意义的对象, 如 g(y) = y 或 g(x + 5) = (x + 5) . 后一个例
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子需要特别注意小括号, 若写成 g(x + 5) = x + 5 就是错的, 因为

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x + 25 并不等于 (x + 5) . 所以在替换过程中如果拿不准, 可用小括
号. 也就是说, 如果你需将 f (x) 写成 f (某表达式), 可将每一个 x 替

换成 (某表达式), 这时一定要加小括号. 唯一不需要加小括号的情况

x
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是, 当函数是指数函数时, 如 h(x) = 3 , 你可以写成 h(x + 6) =
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3 x +6 . 不需要加小括号是因为你已经将 x + 6 写成上标了.

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现在考虑定义为 f (x) = cos(x ) 的函数 f . 若给定一个数 x, 如何计

算 f (x) 呢？ 你会首先计算 x 的平方, 然后计算平方值的余弦. 鉴于我

们可将 f (x) 的计算分解成前后相继的两个独立的计算, 我们也就可以

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将这些计算各描述成一个函数. 因此, 令 g(x) = x , h(x) = cos(x).

为了模拟函数 f 是如何作用于输入值 x 的, 你可先将 x 输入到函数 g

进行求平方运算, 接着不必返回 g 的结果而直接让 g 将其结果作为函

数 h 的输入, 然后 h 计算出一个最终的结果值, 该结果值当然是由函

数 g 计算出的 x 平方值的余弦值. 这个过程恰恰模拟了 f , 故我们可

以写出 f (x) = h(g(x)), 也可表示为 f = h ○ g, 这里的圈表示 “与

…… 的复合”, 即 f 是 g 与 h 的复合. 换言之, f 是 g 与 h 的复合函