Page 63 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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例如 f (x) = x , f 的反函数由 给出, 所以对于任意的

x, . 不要忘记, 反函数就像是撤销按钮. 我们使用 x

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作为 f 的输入, 然后给出输出到 f ; 这撤销了变换并让我们取回了 x

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这个原始的数. 类似地, . 所以, f 是 f 的反函数, 且
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f 是 f 的反函数. 换句话说, 反函数的反函数就是原始函数.

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不过, 对于限制定义域的情况一定要当心. 令 g (x) = x , 我们已经看

到你需要对其定义域加以限制, 方能取得反函数. 设想我们把定义域限

制为 [0, ∞), 但由于粗心大意而把函数继续看成是 g 而不是先前小节

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中那样的 h. 我们便会说 . 如果你真要计算 g (g (x)), 你

就会发现它是 , 即等于 x, 只要 x ≥ 0. (当然，不是这样的话, 从

一开始你就无法取得平方根. )

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另一方面, 如果你解出 g (g (x)), 你会得到 , 它不是总和 x 相同.

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例如, 如果 x = -2, 那么 x = 4, . 所以一般而言, g (g
(x)) = x 不成立. 这里的问题在于, -2 没有在 g 的限制定义域当中. 而

且, 从技术角度而言, 你甚至不可能计算 g (-2), 因为 -2 不再属于 g 的

定义域了. 我们确实应该使用 h, 而不是 g, 以便提醒自己要更加小心.

不过在实践中, 数学家们在限制定义域时经常不会改变字母! 所以把这

种情形总结如下对大家是很有帮助的.

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如果一个函数 f 的定义域可以被限制, 使得 f 有反函数 f , 那么