Page 667 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

例如, 如果在 [3, 5] 区间内的划分是 3 < 3.25 < 4 < 4.5 < 5 (这

是在 15.2.1 节中对第三辆车已经使用过的划分), 这时, 这些小分区的长度

分别为 0.25(3.25 - 3), 0.75 (来自于 4 - 3.25), 0.5(4.5 - 4) 和 0.5(5 -

4.5). 在 0.25, 0.75, 0.5 和 0.5 中的最大值是 0.75, 所以这个最大区间

是 0.75.

现在, 我们用极限的方法来替代估算

从而得到实际的数值. 假设我们不断重复上述过程, 每一次都确保这次的最

大区间比上一次的要小, 所以这个最大值最终趋于 0. 这样, 这个估算越来越

精确了. 这就是我们尽量想得到的公式：

在速度曲线下的实际面积 .

因为最大区间趋于 0, 这样划分的数目就会越来越大, 所以上述极限自动包

含了 n → ∞ 这样一个思想.

15.2.5 两个特别的估算

上述的公式还有许多待改进之处. 如果我们选择不同的划分, 使用不同的样

本时间 c , 还会得到同样的答案吗？这实际上是一个定理, 如果 v 是关于
j

时间 t 的连续函数, 这时上述极限是独立于划分和样本时间的. 定理的证明