Page 688 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

我们知道 , 所以上述求和

变为

等式右侧括号中的差化简后为 2/n. 我们对这个结果并不感到惊奇, 因

为这就是每个长方形的宽. 另外, 这些长方形的宽虽相同, 但高却不同,

2
第 j 个长方形的高为 (2j/n) , j 的取值范围从 1 到 n. 这样, 上述的和

可化简为

3
很好, 我们发现分母 n 与虚拟变量 j 无关, 所以可以把它当作公因子

提出来, 这样该求和表达式为

在 15.1.2 节中, 我们已经知道上述和的值为 n(n + 1)(2n + 1)/6. 也

就是说,

最终, 通过计算可知, 刚才图像中阴影部分的面积为