Page 737 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

请记住, 虚拟变量用什么字母都无所谓 —— 我们已经重新命名 x 轴为

t 轴. 实际面积并没有改变. 现在我们考虑积分

如果把 x =1 代入这个积分表达式, 会得到 , 积分结果为 1/3; 如

果把 x =2 代入, 会得到 , 积分结果为 8/3. 为什么得出这个表达

式就不往下计算了呢？ 你可以把任意值放到 x 的位置, 得到不同的积

分. 上述积分表达式实际上是一个以积分上限 x 为变量的函数. 我们用

F 来标记这个函数, 这样有

可以发现, F (1) = 1/3, F (2) = 8/3. 那么 F (0) 是多少呢？来看下面

式子：

在 16.3 节中我们已经知道, 对于积分上下限都一样的积分表达式, 该

积分的结果为 0. 也就是说, 我们知道 F (0) = 0. 不走运的是, 求解其

他的 F 值并不是很容易, 例如 F (9)、F (-7) 或 (1/2). 在下一节中, 我

们将要研究这个问题. 与此同时, 怎样用文字来描述 F (x) 呢？准确地

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说, 它应该是曲线 y = t 、t 轴、 t = x 和 t =0 所围成的有向面积.