Page 741 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

17.2 微积分的第一基本定理

我们的目的是不用黎曼和来求积分

我们要做 3 件并不显而易见的事情.

(1) 首先, 把虚拟变量改为 t , 把上述积分表达式写为 . 像上一

节那样, 没什么不同 —— 用什么来表示虚拟变量无关紧要.

(2) 现在, 用变量 x 来替代 b 从而得到一个新的函数 F , 定义

. 这就是我们在上一节见过的函数. 最终要求函数 F (b)

的值, 即第 (1) 步中的积分. 但是, 我们首先来看看该怎样理解函数 F .

(3) 现在有了这个新函数 F , 它像是我们刚刚得到的一个新玩具. 在上

一节中, 我们已经花了很多时间求解函数的导数, 这次将对 x 求这个函

数的导数. 考虑

理解 F' (x) 的实质将会帮助我们求解 F (x). 一旦找到这个答案, 就能

计算出 F (b), 这就是我们要求解的积分.

表达式