Page 746 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

帘来做比喻, 我们需要考虑的是拉窗帘的速度有多快, 以及右侧拉点的

位置放多高. 而左侧的固定点并不影响整体的拉动效果.

反导数的引入

现在稍事休息. 我们以一些变量为 t 的函数以及常数 a 开始, 然后建立

了一个以 x 为变量的新函数 F . 对 F 求导, 可以得到原来的函数 f , 但

现在我们要以 x 为变量而不是 t 来计算它. 很奇怪吧!

是的, 很奇怪, 但很有用. 它实际上解决了我们的一个大问题. 让我

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们看看它是 怎样解决的. 假设 f (t) = t , a = 0, 所以有

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微积分的第一基本定理告诉我们 F' (x) = f (x). 因为 f (t) = t , 所以

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有 f (x) = x ; 也就是说, F' (x) = x . 换一种说法, 函数 F 的导数为
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x . 我们说 F 是 x 的反导数 (关于 x). 你能想到其他的函数, 它的导
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数为 x 吗？这里有一些：

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在每一种情况下, 我们都可以发现导数为 x . 事实上, 任何形式为

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(其中 C 为任意常数) 的关于 x 的函数都是 x 的反导数. 还有其

他的吗？答案是否定的! 我们在 11.3.1 节已经得到了这个结论. 如果