Page 958 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

21.5 如何应对不在 0 或 ∞ 处的瑕点

若瑕点出现在有限值而非 0 处, 做换元. 具体情况如下.

若积分 的唯一瑕点出现在 x = a 处, 做换元 t = x - a,

注意 dt = dx. 新的积分则只有 0 一个瑕点.

若积分 的唯一瑕点出现在 x = b 处, 做换元 t = b

- x, 注意 dt = -dx, 用多出的负号来做积分上下限交换. 新的积

分则只有 0 一个瑕点.

例如, 我们在 20.1.2 节讨论了

我们将该积分拆分成了 5 个积分, 每个积分只有一个瑕点, 并证明了

它们均发散.其中一个积分 (我们称之为 I ) 为
5

这里瑕点在 x = 2 处, 故做换元 t = x - 2. 由此 x = t + 2, 积分变

为