Page 956 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

成立. 现在只需运用比较判别法和 p 判别法可得原积分收敛.

21.4.5 更一般的函数在 0 附近的表现

在 24.2.2 节, 我们将学习麦克劳林级数. 如果之前没见过, 不要着急!

留下标记, 等学完麦克劳林级数的所有内容后再来读本节. 不管怎样,

基本观点是：若一个函数有在 0 附近收敛于该函数的麦克劳林级数,

则函数在 x → 0 时渐近等价于级数的最低次项, 即

考虑下面的例子：

和 .

我们知道当 x → 0 时 cos(x) ~ 1, 但这并没有告诉我们 1 - cos(x) 怎

样. 讨论这个量的一个方法是运用 cos(x) 的麦克劳林级数：

它可以另写为

所以, 由上面的原理知右边最低次项起决定作用, 我们有