Page 955 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

若没有因子 |ln x|, 由 p 判别法可知积分发散. |ln x| 有使积分收敛的

趋势, 但作用不大, 因为它只是对数, 而对数增长缓慢. 所以我们仍预期

α
积分发散. 为了证明该猜测, 注意 |ln x| ≤ C/x , 取倒数可得 1/ |ln x|

α
≥ x /C. 为了避免徒劳无功, 我们再一次选择足够小的 α, 有

所以只要 α ≤ 1 就可以. (为什么？) 实际上, 当 α = 1 时右边变为

1/(Cx), 到这里就可知积分发散. 注意积分

也发散 (趋于 ∞), 因为它是原积分求负的结果.

最后一个例子：积分

现在积分在没有因式 |ln x| 时收敛, 但将这个很大的量放到分母上只会

使积分收敛得更快, 所以只需找到 |ln x| 在 (0, 1/2] 的最小值. 想一想

并确定当 x = 1/2 时有最小值, 所以当 0 < x ≤ 1/2, 我们有 |ln(x)|

≥ |ln(1/2)| = ln(2). 最后, 两边取倒数并除以 x 0.9 可得对所有 0 < x

≤ 1/2, 有