Page 965 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

紧密相关. 事实上, 对每个正整数 n, a 都等于 f (n). 所以, 如果我们
n

能证明 存在, 就可以说数列 {a } 有相同的极限. 数列继承了
n

函数的极限性质. 在水平渐近线上, 二者也有联系：记住, 若

, 则 y = f (x) 的图像有水平渐近线 y = L.

除了上述讨论外, 我们还可以很容易地将函数极限的其他性质推广到

数列极限. 例如两个收敛数列 {a } 和 {b }, 当 n → ∞ 时, a → L,
n
n
n
b → M, 则其和 a + b 构成一个收敛于 L + M 的新数列. 对于
n
n
n
差、积、商 (假定 M ≠ 0, 因为分母不能为 0) 和常数的积也同样适

用. 虽然这个结论意义没有那么深远, 不过的确很有用.

另一个重要的事实是三明治定理, 即夹逼定理, 对数列也适用. (三

明治定理内容参见 3.6 节.) 特别地, 假设有数列 {a }, 若怀疑其收敛
n

于某数 L, 则要找到一个比 {a } 大的数列 {b } 和一个比其小的数列
n
n
{c }, 且两个数列均收敛于 L, 则我们就可知该数列的确收敛于 L 了.
n

用数学语言描述就是, 若 c ≤ a ≤ b , 且当 n → ∞ 时, b → L, c n
n
n
n
n
→ L, 则当 n → ∞ 时, a → L. 对前面的数列
n

2
可以通过将经典不等式 -1 ≤ sin(n) ≤ 1 除以 n , 并利用三明治定理

得对所有 n 有