Page 968 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

若 r = 2, 则数列为 1, 2, 4, 8, … , 明显发散于 ∞;

若 r = -1, 则数列为 1, -1, 1, -1, 1, … , 发散, 但不是发散于 ∞

或 -∞, 因为它一直在 -1 和 1 之间来回振荡, 换句话说, 不存在极

限;

若 r = -2, 则数列为 1, -2, 4, -8, … , 与上面数列发散方式相同

(不存在极限), 事实上这次的振荡范围更宽;

若 r = 1/2, 则数列为 1, 1/2, 1/4, 1/8, … , 收敛于 0;

若 r = -1/2, 则数列为 1, -1/2, 1/4, -1/8, … , 尽管振荡, 也收敛

于 0, 因为振荡最后变得越来越小.

上面这些都是下述一般规则的特例.

我们对上述极限进行证明. 首先, 当 r ≥ 0, 极限与 9.4.4 节 (见

x
中间的方框) 中的含有 r 的极限相似. 容易出错的情况是当 r < 0 时,

这是因为数列振荡. 为了解决这个问题, 注意对所有 n 都有