Page 967 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

为了看一下当对 x 做极小变动时函数 f (x) 有什么变化. 你不能对整

数做极小变动, 因为极小变动后它就不再是整数了. 所以若想应用洛必

达法则, 首先需将数列嵌入到一个合适的函数中. 例如, 若

, 则可令

并利用洛必达法则求出 的值再求得 . 注意, 这是 ∞/∞

情形, 所以可以利用该法则. 对分子和分母分别求导, 可得

因为函数的极限是 0, 则数列 a 当 n → ∞ 时也收敛于 0.(我们也可
n

以采用对数在 ∞ 处增长缓慢的结论来求上述极限, 只需要应用

21.3.4 节开头部分的公式并令 α = 1/2 即可.)

22.1.2 两个重要数列

n
取常数 r, 并考虑从 n = 0 开始取值的数列 a = r , 这是一个等比数
n
列, 每一项都是前一项与这个常数的乘积. 我们来看一些等比数列：

若 r = 0, 则数列为 0, 0, 0, … , 显然收敛于 0;

若 r = 1, 则数列为 1, 1, 1, … , 显然收敛于 1;