Page 966 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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数列 b = 1/n 和 c = -1/n 在 n → ∞ 时均收敛于 0, 所以夹于它
n
n
们之间的数列 a 也收敛于 0. 即
n

另一个可由函数性质推广过来的是连续函数保持极限. 这是什

么意思呢？假设当 n → ∞ 时 a → L, 则如果函数 f 在 x = L 连续,
n

我们就可以说当 n → ∞ 时 f (a ) → f (L). 当对任何式子取函数 f 时,
n

极限关系仍保持. 例如求

是多少？我们已经有

当 n → ∞ 时, ,

由于余弦函数在 0 点连续, 因而两边同时取余弦, 可得

当 n → ∞ 时, .

还有一个可以从函数理论中借用的重要工具是洛必达法则(见

14.1 节). 应用该法则的一个问题是, 不能对关于 n 的量 a 求导, 因
n

为 n 只是一个整数. 事实上, 当对函数 f 求关于变量 x 的导数时, 只是