Page 971 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

22.2 级数的收敛与发散

级数就是和, 就是将数列 a 的所有项都加起来, 把各项之间的逗号用
n
加号代替. 对于无穷数列, 好像有点理不出头绪了, 将无穷多个数相加

意味着什么呢？例如, 若数列 a 是等比数列 1, 1/2, 1/4, 1/8, … ,
n

则相应的级数就是 1+ 1/2+ 1/4+ 1/8+ …. 我们需要做一些不同寻

常的事情, 来处理意味着级数不断加下去的省略号.

一般地, 我们想知道

意味着什么. 为了处理这个无穷项之和, 我们把前若干项之后的项去

掉. 若取前面 N 项, 则去掉后面那些项的级数为

现在是有限项之和, 变得有意义了. 下面就是我们想要的：

右边看起来有点奇怪, 因为随着 N 的增大, 项数也在增多. 所以, 我们

定义一个新的数列 {A }：
N

这个新的数列被称为部分和数列. 前面那个奇怪的等式现在为