Page 986 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

由 p 判别法知该级数发散, 不过我们也可以直接证明它发散. 方法

是：先将该级数各项写出来, 再把它们用特殊的方式组合. 特别地, 上

述级数可以写为

除了开始的 1 和 1/2 外, 后面每一组中的项数都是前一组的两倍. 主

要过程为：每一组的最后一项是该组中最小的项, 故上面的和式大于

在这个新级数中, 一项为 1, 一项为 1/2, 两项为 1/4, 四项为 1/8, 八

项为 1/16, 以此类推. 也就是说, 除了第一项, 每一组的和都为 1/2,

所以上面的级数等于

该级数发散! 最后根据比较判别法, 调和级数发散, 因为它大于上

面的发散级数. 现在我们可以轻松地知道 当 p ≤ 1 时发散,

p
因为 1/n ≥ 1/n, 再次应用比较判别法即可. (细节试着自行完成.)