Page 982 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

22.4 无穷级数和反常积分的性质

无穷级数和反常积分之间是有一些联系的, 特别是当反常积分在 ∞ 有

瑕点的时候. 其中的一个联系就是积分判别法, 这将在 22.5.3 节讨论.

本节主要告诉你反常积分的四个判别法对无穷级数仍适用. 下面就一

一讨论.

22.4.1 比较判别法 (理论)

假设给定的级数 的每一项都为正, 若认为该级数发散, 则要能找

到一个比 小的发散级数 即可被证实. 即, 若对所有 n, 有

0 ≤ b ≤ a , 且 发散, 则 也发散. 若认为原级数收敛, 则
n
n

要能找一个比它大的收敛级数 , 即可被证实. 即, 若对所有 n, 有

b ≥ a ≥ 0, 且 收敛, 则 也收敛.
n
n

基本上, 这与反常积分的比较判别法一致. 级数比较判别法成立理由与

积分的比较判别法一样, 若有兴趣可自行证明.

级数的首项不必从 n = 1 开始, 可以从任何数开始. 例如, 考虑