Page 991 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

22.5 级数的新判别法

我们来看四个与反常积分无对应的级数收敛性判别法：比式判别法、

根式判别法. 积分判别法和交错级数判别法. 在下一章讨论应用之前,

我们先来看看它们的内容.

22.5.1 比式判别法 (理论)

这是一个只能用于级数而不能用于反常积分的非常有用的判别法, 被称

为比式判别法, 因为它涉及级数相邻两项的比. 提出的问题是：对于级

数 , 若要使它收敛, 则各项要以足够快的速度趋于 0. 解决方法

是：考虑一个新的数列 b , 定义其为级数相邻两项之比的绝对值, 即
n

对每个 n 令

这是一个数列, 所以它可能收敛于某数. 结果为：若数列 {b } 收敛于
n

一个小于 1 的数, 则立即得知级数 收敛. 实际上它绝对收敛, 即

也收敛. 另一方面, 若数列 {b } 收敛于一个大于 1 的数, 则级
n