Page 984 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

始, 也可以从 n = 0, n = 19 或任何其他的 n 的有限值开始. 该比较

判别法的证明与积分的极限比较法证明类似, 这里不再赘述. 读者可自

行证明, 若当 n → ∞ 时 a ~ b , 我们说两个数列渐近等价.
n
n

我们在第 21 章讨论的函数的所有性质对数列均成立. 例如, 考虑

n
当 n 很大时, 1/2 变得很小 (即趋于 0). 我们知道当 x → 0 时 sin(x)

n
~ x(见 21.4.2 节), 将 x 用 1/2 代换, 我们有

当 时, .

n
n
n
将 1/2 另写为 (1/2) , 且注意 1/2 → 0 等价于 n → ∞. 故上述关系
可写成

当 n → ∞ 时, .

由极限比较法, 两级数

和

同时收敛或同时发散. 现在我们知道右边的级数收敛, 因为它是公比为

1/2(绝对值小于 1) 的几何级数, 所以左边的级数也收敛. 但是, 右边