Page 993 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

性. 另一方面, 这个操作是有用的, 因为可以确定对所有 n ≥ m 有

a n+1 /a < r; 换一种写法即为： 对所有 n ≥ m 有 a n+1 < ra .
n
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我们就要接近问题的核心了：数列 {a } 受控于公比为 r 的等比数列.
n

毕竟, 由 a 推出 a n+1 , 需乘以一个小于 r 的数 (因为 a n+1 < ra ). 另
n
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一方面, 要从公比为 r 的等比数列的某项推出下一项, 也需乘以 r. 所以

若等比数列从 a 开始, 则该数列领先于数列 {a }, 且保持领先. (所
m
n
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有这些都可用推导得出. 假设 a < Ar , 则两边同乘 r 可得 ra <
n
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Ar n+1 . 由于 a n+1 < ra , 我们有 a n+1 < Ar n+1 . 现在只需选择使得
n

m
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a < Ar 的 A 即可, 任何大于 a /r 的数都行.)
m
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n
好的, 我们已经得到对某数 A 有 a < Ar , 于是
n

因为 0 ≤ r < 1, 右边收敛, 故由比较判别法知左边也收敛. 最后, 由绝

对收敛判别法知级数 也收敛, 虽然有些项 a 是负的.
n

真不容易, 幸运的是发散的情形不会这么麻烦. 假定比式 |a n+1 /a | 收
n

敛于一个大于 1 的数 L, 若我们删掉足够的项之后, 只需讨论 ,

其中 m 是使得 |a n+1 /a | > 1 对所有 n ≥ m 均成立的足够大的数.
n

也就是说, 对于所有的 n > m 都有 |a n+1 | > |a |. 项 |a | 随着 n 的
n
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