Page 995 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

新数列为

(要知道, 某量的 1/n 次幂与其 n 次方根是一回事.)现在欲知数列

{b } 收敛与否, 并要求极限. 若极限值小于 1, 则级数 收敛 (事
n

实上, 绝对收敛). 若极限值大于 1, 则级数发散. 若极限值等于 1, 则我

们对原级数得不出明确结论, 需要采用其他方法进行讨论.

我们仍用下一章的一个例子来证明该结论. 若读不懂, 可直接进入

下一节. 不管怎样, 其主要思想仍是通过等比数列来讨论的. 假定 a =
n

n
r , 则 |a | 的 n 次方根为 |r|, 所以当 |r| < 1 时级数收敛, 而当 |r| >
n
1 时级数发散. 这里, 我们并未没明确的几何级数, 但也差不多了. 我们

假定

当 n → ∞ 时, .

采用与比式判别法证明相同的逻辑, 令 r 等于 L 和 1 的平均值, 最终

n
|a | 1/n < r, 即在级数中的某一点 n = m 后, |a | < r . 故我们有
n
n

因为 r < 1, 所以右边级数收敛, 我们运用比较判别法可得左边级数也

收敛, 所以级数 绝对收敛.