Page 992 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

数 发散. 若数列 {b } 收敛于 1 或不收敛. 则我们对原级数得不
n

出什么结论.

下一章将讨论比式判别法的更多例子, 现在来看能否证明该判别

法. 这是一个很复杂的论证, 若不能理解, 不要着急, 可直接跳到下一节.

我们只是来试一下. 这里假定对所有 n 有 a ≥ 0, 这样就可以去掉绝
n

对值号. 假设 b 收敛于一个小于 1 的值 L, 即
n

当 n → ∞ 时, ;

这意味着当 n 很大时, 比式 a n+1 /a 近似等于 L. 若比式就等于 L, 则
n

级数为具有公比 L 的几何级数, 且当 L < 1 时级数收敛. 但比式只是极

限等于 L, 所以我们要更聪明点才行.

可令 r 等于 L 和 1 的平均值, 由于 L < 1, 则均值 r 介于 L 和 1 之间,

所以 r 小于 1, 即 L < r < 1. 然后呢？由于比式 a n+1 /a 收敛于 L,
n

因而该比式会总小于 r. 也就是说, 该比式一开始可能会在某些值之间

徘徊, 但最终会趋近于 L. 若比值不小于 r 就不能趋近于 L, 因为 r 大于

L. 所以, 关键点是若去除级数前面足够多项后, 总能有 a n+1 /a 小于 r.
n

看一下我们得到的结论：我们从 开始, 但去掉了前面的若干项,

得到从某数 m 开始的 . 去掉前面的有限项并不影响级数的敛散