Page 996 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

另一方面, 假设极限值 L 大于 1, 即

当 n → ∞ 时, .

最终对足够大的 n, 总有 |a | 1/n > 1, 意味着 |a | > 1. 故由第 n 项判
n
n

别法知级数 发散, 因为通项不趋于 0.

若极限值 L 为 1, 判别法仍无效, 还是用例子 来讨论. 由

你自行证明, 即

(把它看作洛必达类型的问题进行讨论, 该类型问题参见 14.1.5 节.) 我

们知道 对某些 p 值发散, 对其他 p 值收敛. 由此可知, 根式判

别法给不出任何有用的信息, 因为无论 p 为何值, 上面的极限值都为 1.

22.5.3 积分判别法 (理论)

我们在 22.4 节讨论过, 反常积分和无穷级数之间是有联系的. 积分判

别法更确定了这种联系. 特别地, 对给定的级数 , 其中 a 为正且
n

递减. 这里 “递减” 意思是对所有 n 都有 a n+1 ≤ a . (更专业地说应是
n