Page 994 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

增大而增大, 所以不可能有 . 现在只需运用第 n 项判别法即

可证明 发散, 故 也发散.

剩下的问题就是, 证明 L = 1 时无明确结论. 这里有一个很好的例子：

考虑级数 , 计算相邻项的比

我们可以去掉绝对值号, 因为各部分均为正. 当 n → ∞, 显然有 n/(n +

1) → 1, 所以 p 次幂仍趋于 1, 即

所以, 比式的极限 L 无论 p 为何值均为 1. 我们知道当 p > 1 时

收敛, 而 p ≤ 1 时发散. 比式极限 L = 1 对这两种可能都不能

判定. 这个例子足以说明若 L = 1, 则原级数可能收敛也可能发散, 只

是无从判定.

22.5.2 根式判别法(理论)

根式判别法 (也叫 n 次方根判别法) 类似于比式判别法, 考虑的不是相

邻项的比, 而是第 n 项绝对值的 n 次方根, 即对给定级数 , 构造