Page 12 - révision bac math

2016/2017 Section
[ S´erie R´evision N°6 \
Lyc´ ee BIR LAMAR 4° Maths

´
Exercice N° 1 ( Equation diff´erentielle)

′
′
On consid` ere les ´ equations diff´ erentielles (E ) : y − y = 0 et (E) : y − y = x.
0
1. R´ esoudre dans R l’´ equation (E ).
0
2. a) D´ eterminer les r´ eels a et b pour que la fonction g d´ efinie sur R par : g(x) = ax + b soit une

solution de l’´ equation diff´ erentielle (E).

b) Soit f une fonction d´ erivable sur R .

Montrer que f est une solution de (E) si et seulement si (f − g) est une solution de (E ).
0
c) R´ esoudre alors dans R l’´ equation (E).

x
3. Soit f la fonction d´ efinie par : f(x) = e − x − 1.
´
a) Etudier les variations de f.

b) Montrer que l’´ equation f(x) = x admet une solution unique non nulle α et que 1 < α < 2.

4. Soit h la restriction de f ` a [0 ; +∞[.

a) Montrer que h r´ ealise une bijection de [0 ; +∞[ sur un intervalle J que l’on pr´ ecisera.

′
b) Tracer C et C des courbes repr´ esentatives respectives de f et h −1 dans un rep` ere orthonorm´ e

− → −→
O, i , j .
′
c) Soit A(α) l’aire de la partie du plan limit´ ee par les courbes C , C et les droites d’´ equations x = 0
2
et x = α. Montrer que A(α) = 2(α − α)
x+1
Z
5. Soit ϕ la fonction d´ efinie sur R par :ϕ(x) = f(t)dt.
x
a) Soit n ∈ N, montrer que f(n) ≤ ϕ(n) ≤ f(n + 1).

b) Montrer qu’il existe un unique r´ eel u de [n , n + 1] v´ erifiant ϕ(n) = f(u ).
n
n
c) On consid` ere la suite v d´ efinie sur N par : v = u − n.
n
n
i. V´ erifier que la suite v est born´ ee.

v 1
´
ii. Etablir que pour tout n ∈ N, on a : e v n = e − 1 + n − .
e n 2e n
En d´ eduire que la suite v converge vers un r´ eel que l’on pr´ ecisera.

Exercice N° 2 ( Probabilit´e )

Un groupe de personne d´ ecide d’aller au cin´ ema deux samedis de suite pour voir deux films A et B.
er
Le 1 samedi , 40% des personnes vont voir le film A et les autres le film B.

Diff´ erentielle-Probabilit´ e-Arithm´ etique - 1/3 - Prof : Kadri Wassim