Page 11 - révision bac math

2016/2017 Section
[ S´erie R´evision N°5 \
Lyc´ ee BIR LAMAR 4° Maths

′
4. En d´ eduire toutes les solutions de (E ) d´ efinies sur chacun des intervalles ] − ∞,0[ et ]0,+∞[.

′
5. Soit g une solution de l’´ equation (E ) d´ efinie sur ]0,+∞[.
1
g(x).
a) D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes une primitive de la fonction :x 7−→
x 4
Z 2
1
π 1
b) Calculer la valeur de l’int´ egrale sin dx.
1 x 3 x
π
Exercice N° 3 ( Analyse )

x e t
Z
n ´ etant un entier naturel tel que n ≥ 2. Pour tout r´ eel x > 0, on pose : F (x) = dt.
n
1 t n
′
1. a) Montrer que F est d´ erivable sur ]0,+∞[ puis calculer F (x) pour x > 0.
n
n
´
b) Etudier le sens de variation de F .
n
e t
′
c) x et t sont deux r´ eels tels que 1 ≤ t ≤ x. Montrer que : ≤ F (t).
n
x n
x
e − e
Puis d´ eduire que pour tout r´ eel x ≥ 1, ≤ F (x).
n
x n
F (x)
Calculer alors lim F (x) puis lim n .
n
x→+∞ x→+∞ x
d) x et t sont deux r´ eels tels que 1 ≤ t ≤ x.
1 e t
Montrer que : ≤ puis d´ eduire que pour tout x ∈]0;1], on a F (x) ≤ ln(x).
n
t t n
Calculer alors lim F (x).
n
x→0 +
2. Pour tout entier n ≥ 2, on pose U = F (2).
n
n
e 2
a) montrer que pour tout entier n ≥ 2 on a : 0 ≤ U ≤ , puis calculer lim U .
n
n
n − 1 x→+∞
`
b) A l’aide d’une int´ egration par partie montrer que pour tout entier n ≥ 2 on a :
e 2
U − nU n+1 = − e
n
2 n
c) Calculer lim nU .
n
x→+∞

Diff´ erentielle-Statistique-Analyse - 2/2 - Prof : Kadri Wassim