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8.1 LEYES DE LOS GASES IDEALES Y NO IDEALES 201

Los cálculos del volumen molar a partir de la ecuación de van der Waals se llevan
a cabo usando cualquiera de los métodos numéricos para la determinación de raíces de
ecuaciones analizados en los capítulos 5, 6 y 7, con
⎛ a ⎞
ƒ()v = p + ( – ) –v b RT (8.3)
⎝ v 2 ⎠

En este caso, como la derivada de ƒ(v) se determina fácilmente, entonces es convenien-
te y eficiente usar el método de Newton-Raphson. La derivada de ƒ(v) respecto a v está
dada por
a 2 ab
′ ƒ ()v = p – 2 + 3 (8.4)
v v
El método de Newton-Raphson se describe mediante la ecuación (6.6):

v
i
v = v – ƒ()
i+1 i ′ ƒ v ()
i
la cual se utiliza para estimar la raíz. Por ejemplo, usando como valor inicial 24.6162,
el volumen molar del bióxido de carbono a 300 K y 1 atmósfera es 24.5126 L/mol. Este
resultado se obtuvo después de sólo dos iteraciones y tiene un e menor del 0.001 por
a
ciento.
En la tabla 8.1 se muestran resultados similares para todas las combinaciones de
presión y de temperatura de ambos gases. Se observa que los resultados obtenidos con
la ecuación de los gases ideales difieren de aquellos obtenidos usando la ecuación de
van der Waals, para ambos gases, dependiendo de los valores específicos de p y T. Ade-
más, como algunos de dichos resultados son significativamente diferentes, el diseño de
los recipientes que contendrán a los gases podría ser muy diferente, dependiendo de qué
ecuación de estado se haya empleado.
En este problema, se examinó una complicada ecuación de estado con el método de
Newton-Raphson. En varios casos los resultados variaron de manera significativa res-
pecto a la ley de los gases ideales. Desde un punto de vista práctico, el método de
Newton-Raphson fue apropiado aquí, ya que ƒ′(v) resultó sencillo de calcular. De esta
manera, es factible explotar las propiedades de rápida convergencia del método de
Newton-Raphson.
Además de demostrar su poder en un solo cálculo, este problema de diseño muestra
cómo el método de Newton-Raphson es especialmente atractivo cuando se requiere una
gran cantidad de cálculos. Debido a la velocidad de las computadoras digitales, la efi-
ciencia de varios métodos numéricos en la solución para la mayoría de las raíces de
ecuaciones no se distingue en un cálculo único. Incluso una diferencia de 1 s entre el
método de bisección y el eficiente método de Newton-Raphson no significa pérdida de
tiempo cuando se realiza sólo un cálculo. Sin embargo, suponga que para resolver un
problema se necesita calcular millones de raíces. En tal caso, la eficiencia del método
podría ser un factor decisivo al elegir una técnica.
Por ejemplo, suponga que se requiere diseñar un sistema de control computarizado
automático para un proceso de producción de sustancias químicas. Dicho sistema re-
quiere una estimación exacta de volúmenes molares sobre una base esencialmente
continua, para fabricar en forma conveniente el producto final. Se instalan medidores

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